Упр.39.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}2^x, & x\geq 0,\\3x+1, & x<0.\end{cases}$$
   а) Вычислите $$f(-3);$$ $$f(-2{,}5);$$ $$f(0);$$ $$f(2);$$ $$f(3{,}5);$$
   б) Постройте график функции $$y=f(x);$$
   в) Прочитайте график функции.

а) Найдём значения функции по заданию:

$$f(x)= \begin{cases} 2^x, & x \ge 0,\\ 3x+1, & x<0. \end{cases}$$

$$f(-3)=3\cdot(-3)+1=-9+1=-8$$

$$f(-2{,}5)=3\cdot(-2{,}5)+1=-7{,}5+1=-6{,}5$$

$$f(0)=2^0=1$$

$$f(2)=2^2=4$$

$$f(3{,}5)=2^{3{,}5}=2^3\cdot 2^{0{,}5}=8\sqrt{2}$$

Ход решения

б) Построим график функции.

При $$x<0$$ график задаёт прямая $$y=3x+1$$. Для построения достаточно отметить, например, точки:

$$(-1;\,-2), \quad (0;\,1)$$

При $$x \ge 0$$ график задаёт показательная функция $$y=2^x$$. Для построения отметим точки:

$$(0;\,1), \quad (1;\,2), \quad (3;\,8)$$

Итоговый график состоит из двух частей: слева — луч прямой $$y=3x+1$$ при $$x<0$$, справа — график функции $$y=2^x$$ при $$x \ge 0$$. Точка $$\left(0;1\right)$$ принадлежит графику.

в) Прочитаем график функции.

• Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$.
• Функция ни чётная, ни нечётная.
• Функция возрастает на всей числовой прямой.
• Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.
• Наименьшего и наибольшего значений не имеет.
• Функция непрерывна на всей области определения.
• Множество значений: $$E(f)=(-\infty;+\infty)$$.

Ответ

а) $$f(-3)=-8,\; f(-2{,}5)=-6{,}5,\; f(0)=1,\; f(2)=4,\; f(3{,}5)=8\sqrt{2}$$.
б) График состоит из прямой $$y=3x+1$$ при $$x<0$$ и графика $$y=2^x$$ при $$x \ge 0$$.
в) $$D(f)=(-\infty;+\infty),\; E(f)=(-\infty;+\infty)$$; функция ни чётная, ни нечётная, возрастает на всей числовой прямой.