Упр.39.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке:
а) $$y=2^x$$, $$[1;4]$$;
б) $$y=\left(\frac{1}{3}\right)^x$$, $$[-4;-2]$$;
в) $$y=\left(\frac{1}{3}\right)^x$$, $$[0;4]$$;
г) $$y=2^x$$, $$[-4;2]$$.
Так как показательная функция $$y=a^x$$ при $$a>1$$ возрастает, а при $$0<a<1$$ убывает, то на отрезке наименьшее и наибольшее значения достигаются на концах отрезка.
$$y=2^x,\quad [1;4]$$
Так как $$2>1$$, функция возрастает. Тогда
$$y(1)=2^1=2,$$
$$y(4)=2^4=16.$$
Ответ: $$y_{\min}=2,\; y_{\max}=16.$$
$$y=\left(\frac13\right)^x,\quad [-4;-2]$$
Так как $$\frac13<1$$, функция убывает. Тогда
$$y(-4)=\left(\frac13\right)^{-4}=3^4=81,$$
$$y(-2)=\left(\frac13\right)^{-2}=3^2=9.$$
Ответ: $$y_{\min}=9,\; y_{\max}=81.$$
$$y=\left(\frac13\right)^x,\quad [0;4]$$
Функция убывает, значит
$$y(0)=\left(\frac13\right)^0=1,$$
$$y(4)=\left(\frac13\right)^4=\frac1{81}.$$
Ответ: $$y_{\min}=\frac1{81},\; y_{\max}=1.$$
$$y=2^x,\quad [-4;2]$$
Функция возрастает, значит
$$y(-4)=2^{-4}=\frac1{16},$$
$$y(2)=2^2=4.$$
Ответ: $$y_{\min}=\frac1{16},\; y_{\max}=4.$$
