Упр.38.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=x^{1/4}$$: а) на отрезке $$[0; 1]$$; б) на луче $$[1; +\infty)$$; в) на интервале $$(2; 3)$$; г) на полуинтервале $$(5; 16]$$.
Функция $$y=x^{\frac14}$$ определена при $$x\ge 0$$ и на всей области определения возрастает, так как
$$y’=\frac14x^{-\frac34}>0.$$
а) На отрезке $$[0;1]$$
Так как функция возрастает, то
$$y_{\min}=y(0)=0^{\frac14}=0,$$
$$y_{\max}=y(1)=1^{\frac14}=1.$$
б) На луче $$[1;+\infty)$$
Функция возрастает, поэтому наименьшее значение достигается в левой границе:
$$y_{\min}=y(1)=1^{\frac14}=1.$$
При $$x\to +\infty$$ значение $$y$$ неограниченно возрастает, значит наибольшего значения нет.
в) На интервале $$\left(2;3\right)$$
Интервал открытый, а функция возрастает, поэтому наименьшее и наибольшее значения не достигаются.
г) На полуинтервале $$\left(5;16\right]$$
Функция возрастает, значит наибольшее значение достигается в правой границе:
$$y_{\max}=y(16)=16^{\frac14}=2.$$
Наименьшее значение не достигается, так как число $$5$$ не входит в промежуток.
Ответ: а) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=1$$; б) $$y_{\min}=1,\ y_{\max}$$ не существует; в) $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}$$ не существует; г) $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}=2$$.
