Упр.38.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Исследуйте степенную функцию на монотонность: а) $$y=x^{12}$$; б) $$y=x^{-\frac{1}{6}}$$; в) $$y=x^{-11}$$; г) $$y=x^{\frac{1}{7}}$$.
Для степенной функции с чётным положительным показателем производная имеет вид $$y’=nx^{n-1}$$, а знак производной определяет монотонность.
Решение
$$y=x^{12}$$
$$y’ = 12x^{11}$$
При $$x<0$$ имеем $$y'<0$$, при $$x>0$$ имеем $$y’>0$$. Значит, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty)$$.
$$y=x^{-1/6}$$
Область определения: $$x>0$$.
$$y’=-\frac{1}{6}x^{-7/6}$$
На всей области определения $$y'<0$$, значит, функция убывает на $$(0;+\infty)$$.
$$y=x^{-11}$$
Область определения: $$x\neq 0$$.
$$y’=-11x^{-12}$$
Так как $$x^{-12}>0$$ при всех $$x\neq 0$$, то $$y'<0$$ на всей области определения. Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0)$$ и на $$(0;+\infty)$$.
$$y=x^{1/7}$$
Область определения: $$x\in\mathbb{R}$$.
$$y’=\frac{1}{7}x^{-6/7}$$
При $$x\neq 0$$ производная положительна, значит, функция возрастает на всей области определения, то есть на $$(-\infty;+\infty)$$.
Ответ
а) убывает на $$(-\infty;0]$$, возрастает на $$[0;+\infty)$$; б) убывает на $$(0;+\infty)$$; в) убывает на $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty)$$; г) возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$.
