Упр.38.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Исследуйте степенную функцию на ограниченность: а) $$y=x^8$$; б) $$y=x^{-\frac{3}{4}}$$; в) $$y=x^{-5}$$; г) $$y=x^{\frac{2}{5}}$$.
а) Для функции $$y=x^8$$ при любых $$x$$ имеем $$x^8\ge 0$$. Значит, множество значений функции: $$y\in[0;+\infty)$$. Следовательно, функция ограничена снизу, причём $$y_{\min}=0$$.
б) Функция $$y=x^{-\frac34}=\frac1{x^{3/4}}$$ определена при $$x>0$$. При этом $$x^{3/4}>0$$, значит $$y>0$$. Кроме того, при $$x\to+\infty$$ имеем $$y\to 0$$, а при $$x\to 0+$$ значение функции неограниченно возрастает. Следовательно, функция ограничена снизу: $$y>0$$.
в) Для функции $$y=x^{-5}=\frac1{x^5}$$ область определения: $$x\ne 0$$. При $$x\to 0+$$ получаем $$y\to+\infty$$, а при $$x\to 0-$$ получаем $$y\to-\infty$$. Значит, функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
г) Функция $$y=x^{\frac25}$$ определена при всех $$x$$, а так как $$x^{\frac25}=\left(\sqrt[5]{x}\right)^2\ge 0$$, то $$y\in[0;+\infty)$$. Следовательно, функция ограничена снизу, и $$y_{\min}=0$$.
Ответ: а) ограничена снизу; б) ограничена снизу; в) не ограничена; г) ограничена снизу.
