Упр.38.40 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Проведите касательную к графику заданной функции из данной точки М:

а) $$y=\sqrt{x}$$, М(0; 1);
б) $$y=\frac{x^3}{2}+4$$, М(0; 0).

а) Пусть точка касания имеет абсциссу $$a>0$$. Тогда для функции $$y=\sqrt{x}$$ имеем

$$f(a)=\sqrt{a}, \qquad f'(a)=\frac{1}{2\sqrt{a}}.$$

Уравнение касательной:

$$y=\sqrt{a}+\frac{1}{2\sqrt{a}}(x-a).$$

Так как она проходит через точку $$M(0;1)$$, подставим её координаты:

$$1=\sqrt{a}+\frac{1}{2\sqrt{a}}(0-a)=\sqrt{a}-\frac{a}{2\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{2}.$$

Отсюда

$$\sqrt{a}=2,\qquad a=4.$$

Точка касания: $$K(4;2)$$. Тогда уравнение касательной:

$$y-1=\frac{2-1}{4-0}(x-0),$$

то есть

$$y=\frac{x}{4}+1.$$

б) Для функции $$y=x^{\frac{3}{2}}+4$$ пусть точка касания имеет абсциссу $$a\ge 0$$. Тогда

$$f(a)=a^{\frac{3}{2}}+4, \qquad f'(a)=\frac{3}{2}a^{\frac{1}{2}}=\frac{3\sqrt{a}}{2}.$$

Уравнение касательной:

$$y=a^{\frac{3}{2}}+4+\frac{3\sqrt{a}}{2}(x-a).$$

Так как касательная проходит через точку $$M(0;0)$$, получаем

$$0=a^{\frac{3}{2}}+4-\frac{3\sqrt{a}}{2}\,a=a^{\frac{3}{2}}+4-\frac{3}{2}a^{\frac{3}{2}}=4-\frac{1}{2}a^{\frac{3}{2}}.$$

Следовательно,

$$a^{\frac{3}{2}}=8,\qquad a=4.$$

Точка касания: $$K(4;12)$$. Тогда

$$y-0=\frac{12-0}{4-0}(x-0),$$

откуда

$$y=3x.$$

Ответ

а) $$y=\frac{x}{4}+1$$; б) $$y=3x$$.