Упр.38.37 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Проведите касательную к графику функции $$y=f(x)$$, параллельную заданной прямой $$y=kx+m$$:
а) $$f(x)=\sqrt[4]{x}$$, $$y=x-2$$;
б) $$f(x)=\frac{1}{x^3}$$, $$y=5-3x$$.

Найдём производную функции и приравняем её к угловому коэффициенту заданной прямой.

а)

$$f(x)=4\sqrt[4]{x}=4x^{1/4}$$

Угловой коэффициент прямой $$y=x-2$$ равен $$k=1$$.

Тогда

$$f'(x)=4\cdot \frac14 x^{-3/4}=\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}.$$

Ищем точку касания из условия

$$\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}=1,$$

откуда

$$\sqrt[4]{x^3}=1,\qquad x=1.$$

Найдём ординату точки касания:

$$f(1)=4\sqrt[4]{1}=4.$$

Уравнение касательной:

$$y-4=1(x-1),$$

то есть

$$y=x+3.$$

б)

$$f(x)=\frac{1}{x^3}=x^{-3}$$

Угловой коэффициент прямой $$y=5-3x$$ равен $$k=-3$$.

Тогда

$$f'(x)=(x^{-3})’=-3x^{-4}=-\frac{3}{x^4}.$$

Ищем точки касания из условия

$$-\frac{3}{x^4}=-3,$$

откуда

$$x^4=1,\qquad x=\pm 1.$$

Найдём соответствующие значения функции:

$$f(1)=\frac{1}{1^3}=1,\qquad f(-1)=\frac{1}{(-1)^3}=-1.$$

Уравнения касательных:

$$y-1=-3(x-1),$$

откуда

$$y=-3x+4;$$

$$y+1=-3(x+1),$$

откуда

$$y=-3x-4.$$

Ответ: а) $$y=x+3$$; б) $$y=-3x+4$$ и $$y=-3x-4$$.