Упр.38.36 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство $$f'(x)>0$$, если:
   а) $$f(x)=x^2-\frac{2}{3}x^{3/2}$$;
   б) $$f(x)=-\frac{8}{x}-\frac{x^2}{2}$$;
   в) $$f(x)=\frac{3}{5}x^{5/3}+\frac{3}{2}x^{4/3}$$;
   г) $$f(x)=0{,}4x^{5/4}-\frac{8}{3}x^{3/4}$$.

а) $$f(x)=x^2-\frac{2}{3}x^{3/2}$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2x-\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}=2x-\sqrt{x}.$$

Решим неравенство:

$$2x-\sqrt{x}>0.$$

Так как $$x\ge 0,$$ вынесем $$\sqrt{x}$$ за скобку:

$$\sqrt{x}(2\sqrt{x}-1)>0.$$

При $$x>0$$ получаем:

$$2\sqrt{x}-1>0,\qquad \sqrt{x}>\frac12,\qquad x>\frac14.$$

С учётом области определения:

$$x\in\left(\frac14;+\infty\right).$$

б) $$f(x)=-\frac{8}{x}-\frac{x^2}{2}$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{8}{x^2}-x.$$

Решим неравенство:

$$\frac{8}{x^2}-x>0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{8-x^3}{x^2}>0,\qquad x\ne 0.$$

Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ достаточно решить:

$$8-x^3>0,\qquad x^3<8,\qquad x<2.$$

С учётом $$x\ne 0$$:

$$x\in(-\infty;0)\cup(0;2).$$

в) $$f(x)=\frac{3}{5}x^{5/3}+\frac{3}{2}x^{4/3}$$

Найдём производную:

$$f'(x)=x^{2/3}+2x^{1/3}.$$

Решим неравенство:

$$x^{2/3}+2x^{1/3}>0.$$

Вынесем $$x^{1/3}$$ за скобку:

$$x^{1/3}(x^{1/3}+2)>0.$$

Положим $$t=x^{1/3}.$$ Тогда

$$t(t+2)>0,\qquad t<-2 \ \text{или}\ t>0.$$

Возвращаясь к $$x,$$ получаем:

$$x<-8 \ \text{или}\ x>0.$$

Но выражение имеет смысл при всех $$x\in\mathbb{R},$$ поэтому

$$x\in(-\infty;-8)\cup(0;+\infty).$$

г) $$f(x)=0{,}4x^{5/4}-\frac{8}{3}x^{3/4}$$

Найдём производную:

$$f'(x)=0{,}4\cdot\frac54x^{1/4}-\frac{8}{3}\cdot\frac34x^{-1/4}=\frac{x^{1/4}}{2}-\frac{2}{x^{1/4}}.$$

Решим неравенство:

$$\frac{x^{1/4}}{2}-\frac{2}{x^{1/4}}>0,\qquad x>0.$$

Умножим на $$2x^{1/4}>0$$:

$$x^{1/2}-4>0.$$

Тогда

$$\sqrt{x}>4,\qquad x>16.$$

Следовательно,

$$x\in(16;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in\left(\frac14;+\infty\right);$$ б) $$x\in(-\infty;0)\cup(0;2);$$ в) $$x\in(-\infty;-8)\cup(0;+\infty);$$ г) $$x\in(16;+\infty).$$