Упр.38.35 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Решите уравнение $$g'(x)=0$$, если:
а) $$g(x)=2\sqrt{x}-x$$;
б) $$g(x)=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-\frac{12}{5}x^{\frac{5}{4}}+2x$$;
в) $$g(x)=\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}}-2x$$;
г) $$g(x)=\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}}-\frac{6}{7}x^{\frac{7}{6}}-2x$$.
а) $$g(x)=2\sqrt{x}-x$$
Найдём производную:
$$g'(x)=2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}-1=\frac{1}{\sqrt{x}}-1.$$
Решим уравнение $$g'(x)=0$$:
$$\frac{1}{\sqrt{x}}-1=0,$$
$$\frac{1}{\sqrt{x}}=1,$$
$$\sqrt{x}=1,$$
$$x=1.$$
Ответ: $$1$$
б) $$g(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{12}{5}x^{5/4}+2x$$
Найдём производную:
$$g'(x)=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}-\frac{12}{5}\cdot\frac{5}{4}x^{1/4}+2=\sqrt{x}-3\sqrt[4]{x}+2.$$
Решим уравнение $$g'(x)=0$$. Обозначим $$t=\sqrt[4]{x}$$, тогда $$\sqrt{x}=t^2$$. Получаем:
$$t^2-3t+2=0,$$
$$\left(t-1\right)\left(t-2\right)=0.$$
Отсюда:
$$t=1 \quad \text{или} \quad t=2.$$
Тогда
$$\sqrt[4]{x}=1 \Rightarrow x=1,$$
$$\sqrt[4]{x}=2 \Rightarrow x=16.$$
Ответ: $$1; 16$$
в) $$g(x)=\frac{3}{4}x^{4/3}-2x$$
Найдём производную:
$$g'(x)=\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}x^{1/3}-2=\sqrt[3]{x}-2.$$
Решим уравнение $$g'(x)=0$$:
$$\sqrt[3]{x}-2=0,$$
$$\sqrt[3]{x}=2,$$
$$x=8.$$
Ответ: $$8$$
г) $$g(x)=\frac{3}{4}x^{4/3}-\frac{6}{7}x^{7/6}-2x$$
Найдём производную:
$$g'(x)=\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}x^{1/3}-\frac{6}{7}\cdot\frac{7}{6}x^{1/6}-2=\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}-2.$$
Решим уравнение $$g'(x)=0$$. Обозначим $$t=\sqrt[6]{x}$$, тогда $$\sqrt[3]{x}=t^2$$. Получаем:
$$t^2-t-2=0,$$
$$\left(t-2\right)\left(t+1\right)=0.$$
Так как $$t=\sqrt[6]{x}\ge 0$$, то подходит только $$t=2$$. Тогда
$$\sqrt[6]{x}=2,$$
$$x=64.$$
Ответ: $$64$$
