Упр.38.32 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном промежутке:
- а) $$y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-2x,\ [1;9]$$;
б) $$y=\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}-x,\ (0;8)$$;
в) $$y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-2x,\ (1;9)$$;
г) $$y=\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}-x,\ [0;8]$$.
а) $$y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-2x,\quad [1;9]$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-2x \Rightarrow y’=\sqrt{x}-2.$$
Критическая точка:
$$\sqrt{x}-2=0,\quad \sqrt{x}=2,\quad x=4.$$
Вычислим значения функции в концах промежутка и в критической точке:
$$y(1)=\frac{2}{3}\cdot 1\cdot \sqrt{1}-2\cdot 1=\frac{2}{3}-2=-\frac{4}{3},$$
$$y(4)=\frac{2}{3}\cdot 4\cdot \sqrt{4}-2\cdot 4=\frac{16}{3}-8=-\frac{8}{3},$$
$$y(9)=\frac{2}{3}\cdot 9\cdot \sqrt{9}-2\cdot 9=18-18=0.$$
Следовательно, $$y_{\min}=-\frac{8}{3},\quad y_{\max}=0.$$
б) $$y=\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}-x,\quad (0;8)$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}-1=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-1.$$
Критическая точка:
$$\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-1=0,\quad \sqrt[3]{x}=1,\quad x=1.$$
Так как на промежутке $$0<x<1$$ производная положительна, а при $$x>1$$ отрицательна, то в точке $$x=1$$ достигается максимум:
$$y(1)=\frac{3}{2}\cdot 1^{\frac{2}{3}}-1=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}.$$
При $$x\to 0+$$ имеем $$y\to 0,$$ но точка $$x=0$$ не входит в промежуток, поэтому наименьшее значение не достигается.
Следовательно, $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}=\frac{1}{2}.$$
в) $$y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-2x,\quad (1;9)$$
Производная та же:
$$y’=\sqrt{x}-2.$$
Критическая точка $$x=4$$ принадлежит промежутку.
Вычислим значение функции в этой точке:
$$y(4)=\frac{2}{3}\cdot 4\cdot \sqrt{4}-2\cdot 4=\frac{16}{3}-8=-\frac{8}{3}.$$
Так как на концах промежутка точки не входят в область определения, наибольшее значение не достигается.
Следовательно, $$y_{\min}=-\frac{8}{3},\quad y_{\max}$$ не существует.
г) $$y=\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}-x,\quad [0;8]$$
Производная:
$$y’=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-1.$$
Критическая точка:
$$\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-1=0,\quad x=1.$$
Вычислим значения функции в точках $$0, 1, 8$$:
$$y(0)=0,$$
$$y(1)=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2},$$
$$y(8)=\frac{3}{2}\cdot 8^{\frac{2}{3}}-8=\frac{3}{2}\cdot 4-8=6-8=-2.$$
Следовательно, $$y_{\min}=-2,\quad y_{\max}=\frac{1}{2}.$$
Ответ: а) $$y_{\min}=-\frac{8}{3},\ y_{\max}=0$$; б) $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}=\frac{1}{2}$$; в) $$y_{\min}=-\frac{8}{3},\ y_{\max}$$ не существует; г) $$y_{\min}=-2,\ y_{\max}=\frac{1}{2}$$.
