Упр.38.31 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:

а) $$y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-2x$$;

б) $$y=\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}-x$$.

а) $$y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-2x=\frac{2}{3}x^{\frac32}-2x.$$

Найдём производную:

$$y’=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}x^{\frac12}-2=\sqrt{x}-2.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

Исследуем знак производной:

$$y’=0 \iff \sqrt{x}-2=0 \iff x=4.$$

При $$0\le x<4$$ имеем $$\sqrt{x}-2<0,$$ значит, функция убывает. При $$x>4$$ имеем $$\sqrt{x}-2>0,$$ значит, функция возрастает.

Найдём значение функции в точке минимума:

$$y(4)=\frac{2}{3}\cdot 4\sqrt{4}-2\cdot 4=\frac{2}{3}\cdot 8-8=\frac{16}{3}-\frac{24}{3}=-\frac{8}{3}.$$

Следовательно, функция убывает на $$[0;4]$$ и возрастает на $$[4;+\infty).$$ Точка минимума: $$x=4,$$ $$y_{\min}=-\frac{8}{3}.$$

б) $$y=\frac{3}{2}x^{\frac23}-x.$$

Найдём производную:

$$y’=\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{3}x^{-\frac13}-1=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-1.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

Рассмотрим знак производной. Для $$x>0$$:

$$y’=0 \iff \frac{1}{\sqrt[3]{x}}-1=0 \iff \sqrt[3]{x}=1 \iff x=1.$$

При $$0<x<1$$ имеем $$\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-1>0,$$ значит, функция возрастает. При $$x>1$$ имеем $$\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-1<0,$$ значит, функция убывает.

Найдём значение функции в точке максимума:

$$y(1)=\frac{3}{2}\cdot 1^{\frac23}-1=\frac{3}{2}-1=\frac12.$$

Следовательно, функция возрастает на $$[0;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty).$$ Точка максимума: $$x=1,$$ $$y_{\max}=\frac12.$$

Ответ

а) Функция убывает на $$[0;4]$$ и возрастает на $$[4;+\infty).$$ Точка минимума: $$x=4,$$ $$y_{\min}=-\frac{8}{3}.$$

б) Функция возрастает на $$[0;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty).$$ Точка максимума: $$x=1,$$ $$y_{\max}=\frac12.$$