Упр.38.30 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Напишите уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x=a$$: а) $$y=x^4-3x^3$$, $$a=2$$; б) $$y=\sqrt[3]{3x-1}$$, $$a=3$$; в) $$y=3x^3-5x^2-4$$, $$a=2$$; г) $$y=(2x+5)^{-\frac{1}{2}}$$, $$a=2$$.

Используем формулу касательной к графику функции в точке $$x=a$$:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

а)

$$f(x)=x^4-3x^3,\quad a=2.$$

Найдём значение функции и производной:

$$f(2)=2^4-3\cdot 2^3=16-24=-8,$$

$$f'(x)=4x^3-9x^2,$$

$$f'(2)=4\cdot 2^3-9\cdot 2^2=32-36=-4.$$

Тогда

$$y=-8-4(x-2)=-8-4x+8=-4x.$$

б)

$$f(x)=\sqrt[3]{3x-1},\quad a=3.$$

Найдём значение функции и производной:

$$f(3)=\sqrt[3]{3\cdot 3-1}=\sqrt[3]{8}=2,$$

$$f'(x)=\frac{1}{3}(3x-1)^{-\frac23}\cdot 3=\frac{1}{\sqrt[3]{(3x-1)^2}},$$

$$f'(3)=\frac{1}{\sqrt[3]{8^2}}=\frac{1}{4}.$$

Тогда

$$y=2+\frac14(x-3)=2+\frac14x-\frac34=\frac14x+\frac54.$$

в)

$$f(x)=3x^3-5x^2-4,\quad a=2.$$

Найдём значение функции и производной:

$$f(2)=3\cdot 2^3-5\cdot 2^2-4=24-20-4=0,$$

$$f'(x)=9x^2-10x,$$

$$f'(2)=9\cdot 2^2-10\cdot 2=36-20=16.$$

Тогда

$$y=0+16(x-2)=16x-32.$$

г)

$$f(x)=(2x+5)^{-\frac12},\quad a=2.$$

Найдём значение функции и производной:

$$f(2)=(2\cdot 2+5)^{-\frac12}=9^{-\frac12}=\frac13,$$

$$f'(x)=-\frac12(2x+5)^{-\frac32}\cdot 2=-(2x+5)^{-\frac32}=-\frac{1}{\sqrt{(2x+5)^3}},$$

$$f'(2)=-\frac{1}{\sqrt{9^3}}=-\frac{1}{27}.$$

Тогда

$$y=\frac13-\frac{1}{27}(x-2)=\frac13-\frac{x}{27}+\frac{2}{27}=\frac{11}{27}-\frac{x}{27}.$$

Ответ

а) $$y=-4x$$; б) $$y=\frac14x+\frac54$$; в) $$y=16x-32$$; г) $$y=\frac{11-x}{27}$$.