Упр.38.38 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Исследуйте функцию на монотонность и экстремум и постройте её график: а) $$y=\sqrt{x}-x$$; б) $$y=x\sqrt{x+2}$$.

а) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{x}-x.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

Найдём производную:

$$y’=\left(\sqrt{x}\right)’-\left(x\right)’=\frac{1}{2\sqrt{x}}-1=\frac{1-2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}.$$

На области определения при $$x>0$$ знак производной определяется числителем:

$$1-2\sqrt{x}=0 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x}=\frac12 \quad \Rightarrow \quad x=\frac14.$$

Тогда

$$y’>0 \text{ при } 0<x<\frac14,\qquad y'<0 \text{ при } x>\frac14.$$

Значит, функция возрастает на $$\left[0;\frac14\right]$$ и убывает на $$\left[\frac14;+\infty\right).$$

В точке $$x=\frac14$$ достигается максимум:

$$y\left(\frac14\right)=\sqrt{\frac14}-\frac14=\frac12-\frac14=\frac14.$$

Следовательно, точка максимума: $$\left(\frac14;\frac14\right).$$

Для построения графика отметим несколько точек:

По этим точкам строим график функции.

б) Рассмотрим функцию $$y=x\sqrt{x+2}.$$

Область определения: $$x+2\ge 0,$$ то есть $$x\ge -2.$$

Найдём производную:

$$y’=(x)’\sqrt{x+2}+x\left(\sqrt{x+2}\right)’=\sqrt{x+2}+x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x+2}}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$y’=\frac{2(x+2)+x}{2\sqrt{x+2}}=\frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}.$$

На области определения при $$x>-2$$ знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется числителем:

$$3x+4=0 \quad \Rightarrow \quad x=-\frac43.$$

Тогда

$$y'<0 \text{ при } -2<x<-\frac43,\qquad y’>0 \text{ при } x>-\frac43.$$

Следовательно, функция убывает на $$\left[-2;-\frac43\right]$$ и возрастает на $$\left[-\frac43;+\infty\right).$$

В точке $$x=-\frac43$$ достигается минимум:

$$y\left(-\frac43\right)=-\frac43\sqrt{-\frac43+2}=-\frac43\sqrt{\frac23}=-\frac{4\sqrt6}{9}.$$

Следовательно, точка минимума: $$\left(-\frac43;-\frac{4\sqrt6}{9}\right).$$

Для построения графика отметим несколько точек:

По этим точкам строим график функции.

Ответ

а) $$y=\sqrt{x}-x$$: возрастает на $$\left[0;\frac14\right]$$, убывает на $$\left[\frac14;+\infty\right)$$; максимум при $$x=\frac14$$, $$y_{\max}=\frac14.$$

б) $$y=x\sqrt{x+2}$$: убывает на $$\left[-2;-\frac43\right]$$, возрастает на $$\left[-\frac43;+\infty\right)$$; минимум при $$x=-\frac43$$, $$y_{\min}=-\frac{4\sqrt6}{9}.$$