Упр.38.29 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите угол, образованный касательной к графику функции $$y=g(x)$$ с положительным направлением оси абсцисс в точке с абсциссой $$x_0$$: а) $$g(x)=\frac{2}{3}\sqrt{4-3x}$$, $$x_0=\frac{1}{3}$$; б) $$g(x)=-3(\sqrt{2}+x)^{-\frac{1}{3}}$$, $$x_0=1-\sqrt{2}$$.

Найдём производную функции и подставим заданное значение $$x_0$$. Угол наклона касательной $$\alpha$$ связан с её угловым коэффициентом формулой $$\tan \alpha = g'(x_0).$$

а)

$$g(x)=\frac{2}{3}\sqrt{4-3x}, \qquad x_0=\frac13.$$

Найдём производную:

$$g'(x)=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2\sqrt{4-3x}}\cdot(-3) =-\frac{1}{\sqrt{4-3x}}.$$

Тогда

$$\tan \alpha=g’\!\left(\frac13\right) =-\frac{1}{\sqrt{4-3\cdot \frac13}} =-\frac{1}{\sqrt3} =-\frac{\sqrt3}{3}.$$

Так как $$\tan \alpha<0$$, то угол лежит во второй четверти:

$$\alpha=\pi-\arctan\frac{1}{\sqrt3} =\pi-\frac{\pi}{6} =\frac{5\pi}{6}.$$

б)

$$g(x)=-3(\sqrt2+x)^{-\frac13}, \qquad x_0=1-\sqrt2.$$

Найдём производную:

$$g'(x)=-3\cdot\left(-\frac13\right)(\sqrt2+x)^{-\frac43} =(\sqrt2+x)^{-\frac43} =\frac{1}{\sqrt[3]{(\sqrt2+x)^4}}.$$

Тогда

$$\tan \alpha=g'(1-\sqrt2) =\frac{1}{\sqrt[3]{(\sqrt2+1-\sqrt2)^4}} =\frac{1}{\sqrt[3]{1}} =1.$$

Следовательно,

$$\alpha=\arctan 1=\frac{\pi}{4}.$$

Ответ

а) $$\frac{5\pi}{6}$$; б) $$\frac{\pi}{4}$$.