Упр.38.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$:

• а) $$f(x)=4-x^{-\frac{3}{4}},\quad x_0=1$$;
• б) $$f(x)=12x^{-\frac{1}{2}}-x,\quad x_0=9$$;
• в) $$f(x)=2x^{\frac{2}{3}}-1,\quad x_0=8$$;
• г) $$f(x)=x^{-3}+\sqrt{x},\quad x_0=1$$.

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке $$x_0$$: $$k=f'(x_0).$$

1. $$f(x)=4-x^{-\frac34}, \quad x_0=1.$$

   $$f'(x)=0-\left(-\frac34x^{-\frac74}\right)=\frac34x^{-\frac74}.$$

   $$k=f'(1)=\frac34.$$

2. $$f(x)=12x^{-\frac12}-x, \quad x_0=9.$$

   $$f'(x)=12\left(-\frac12x^{-\frac32}\right)-1=-6x^{-\frac32}-1.$$

   $$k=f'(9)=-6\cdot 9^{-\frac32}-1=-\frac6{27}-1=-\frac29-1=-\frac{11}{9}.$$

3. $$f(x)=2x^{\frac23}-1, \quad x_0=8.$$

   $$f'(x)=2\cdot \frac23 x^{-\frac13}=\frac43x^{-\frac13}.$$

   $$k=f'(8)=\frac43\cdot 8^{-\frac13}=\frac43\cdot \frac12=\frac23.$$

4. $$f(x)=x^{-3}+6\sqrt{x}, \quad x_0=1.$$

   $$f'(x)=-3x^{-4}+6\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=-3x^{-4}+\frac{3}{\sqrt{x}}.$$

   $$k=f'(1)=-3+3=0.$$

Ответ: а) $$\frac34$$; б) $$-\frac{11}{9}$$; в) $$\frac23$$; г) $$0$$.