Упр.38.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Рассмотрим функцию
$$y=\begin{cases} \dfrac{1}{x}, & x<0,\\[4pt] x^{-\frac12}, & x>0. \end{cases}$$
Построим её по частям.
При $$x<0$$ имеем график функции $$y=\dfrac{1}{x}$$ — левую ветвь гиперболы. Для построения можно взять точки:
$$\begin{array}{c|ccc} x & -2 & -1 & -0{,}5 \\ \hline y & -0{,}5 & -1 & -2 \end{array}$$
При $$x>0$$ имеем
$$y=x^{-\frac12}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}.$$
Это убывающая ветвь, проходящая через точки:
$$\begin{array}{c|ccc} x & 0{,}25 & 1 & 4 \\ \hline y & 2 & 1 & 0{,}5 \end{array}$$
Объединяя обе части, получаем график с двумя ветвями: слева — ветвь гиперболы в III четверти, справа — график $$y=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$$ в I четверти. При $$x\to 0-$$ и $$x\to 0+$$ значения функции неограниченно возрастают по модулю, поэтому прямая $$x=0$$ является вертикальной асимптотой. При $$x\to \pm\infty$$ функция стремится к нулю, значит, $$y=0$$ — горизонтальная асимптота.
Свойства функции:
- $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$;
- функция ни чётная, ни нечётная;
- убывает на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty)$$;
- вертикальная асимптота: $$x=0$$;
- горизонтальная асимптота: $$y=0$$;
- $$E(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$.
Ответ: график состоит из двух ветвей: $$y=\dfrac{1}{x}$$ при $$x<0$$ и $$y=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$$ при $$x>0$$; $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$, $$E(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$.
