Упр.38.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите графически системы уравнений:

1. а) $$\begin{cases} y=x^{\frac{5}{2}}, \\ y=1; \end{cases}$$
   б) $$\begin{cases} y=x^{-\frac{1}{3}}, \\ y=\sqrt{x}; \end{cases}$$
   в) $$\begin{cases} y=x^{\frac{1}{6}}, \\ y=|x|; \end{cases}$$
   г) $$\begin{cases} y=x^{-\frac{2}{3}}, \\ 2x-y-1=0. \end{cases}$$

Рассмотрим точки пересечения графиков.

1. $$y=x^{\frac52},\quad y=1$$

   При $$y=1$$ получаем:

   $$x^{\frac52}=1$$

   Так как $$x^{\frac52}$$ определено при $$x\ge 0$$, то подходит $$x=1$$. Тогда $$y=1$$.

   Ответ: $$\left(1;1\right)$$.

2. $$y=x^{-\frac13},\quad y=\sqrt{x}$$

   Ищем общую точку графиков:

   $$x^{-\frac13}=\sqrt{x}$$

   При $$x>0$$ это равносильно

   $$x^{-\frac13}=x^{\frac12}$$

   $$x^{-\frac13-\frac12}=1$$

   $$x^{-\frac56}=1$$

   Отсюда $$x=1$$, тогда $$y=1$$.

   Ответ: $$\left(1;1\right)$$.

3. $$y=x^{\frac16},\quad y=|x|$$

   Так как $$x^{\frac16}$$ определено только при $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$. Решаем:

   $$x^{\frac16}=x$$

   $$x^{\frac16}-x=0$$

   Проверяем значения:

   $$x=0 \Rightarrow y=0$$

   $$x=1 \Rightarrow y=1$$

   Других решений нет.

   Ответ: $$\left(0;0\right),\ \left(1;1\right)$$.

4. $$y=x^{-\frac23},\quad 2x-y-1=0$$

   Из второго уравнения:

   $$y=2x-1$$

   Тогда

   $$x^{-\frac23}=2x-1$$

   Проверим подходящее значение $$x=1$$:

   $$1^{-\frac23}=1,\quad 2\cdot 1-1=1$$

   Значит, $$y=1$$.

   Ответ: $$\left(1;1\right)$$.