Упр.38.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=x^{-\frac{2}{3}}$$: а) на отрезке $$[1;8]$$; б) на интервале $$(3;5)$$; в) на луче $$[1;+\infty)$$; г) на полуинтервале $$(0;1]$$.

Функция $$y=x^{-\frac23}=\frac1{x^{\frac23}}$$ определена при $$x>0$$ и на своей области определения убывает, так как

$$y’=-\frac23x^{-\frac53}<0.$$

1. На отрезке $$[1;8]$$ наибольшее значение достигается в левой границе, а наименьшее — в правой:

   $$y(1)=1^{-\frac23}=1,$$

   $$y(8)=8^{-\frac23}=(2^3)^{-\frac23}=2^{-2}=\frac14.$$

   Ответ: $$y_{\min}=\frac14,\; y_{\max}=1.$$

2. На интервале $$(3;5)$$ функция убывает, но границы интервала не входят в область рассмотрения, поэтому наименьшего и наибольшего значений нет.

   Ответ: $$y_{\min}$$ — не существует; $$y_{\max}$$ — не существует.

3. На луче $$[1;+\infty)$$ наибольшее значение достигается при $$x=1$$:

   $$y(1)=1.$$

   При $$x\to+\infty$$ значение функции стремится к $$0$$, но не достигает его, значит наименьшего значения нет.

   Ответ: $$y_{\min}$$ — не существует; $$y_{\max}=1.$$

4. На полуинтервале $$(0;1]$$ функция убывает, поэтому наименьшее значение достигается в точке $$x=1$$:

   $$y(1)=1.$$

   При $$x\to0+$$ значение функции не ограничено сверху, значит наибольшего значения нет.

   Ответ: $$y_{\min}=1;\; y_{\max}$$ — не существует.