Упр.38.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=x^{5/2}$$:
- на луче $$[0;+\infty)$$;
- на полуинтервале $$[1;3)$$;
- на отрезке $$[1;2]$$;
- на полуинтервале $$(6;8]$$.
Функция $$y=x^{\frac52}$$ на своей области определения $$x\ge 0$$ возрастает, так как
$$y’=\frac52x^{\frac32}\ge 0.$$
а) На луче $$[0;+\infty)$$
Так как функция возрастает, наименьшее значение достигается при $$x=0$$:
$$y_{\min}=0^{\frac52}=0.$$
Наибольшего значения на луче нет, так как при $$x\to+\infty$$ значение функции неограниченно возрастает.
б) На полуинтервале $$[1;3)$$
Функция возрастает, значит наименьшее значение достигается в левой границе:
$$y_{\min}=1^{\frac52}=1.$$
Наибольшего значения нет, потому что точка $$x=3$$ не входит в промежуток.
в) На отрезке $$[1;2]$$
Проверим концы отрезка:
$$y(1)=1^{\frac52}=1,$$
$$y(2)=2^{\frac52}=2^2\sqrt2=4\sqrt2.$$
Так как функция возрастает, то
$$y_{\min}=1,\qquad y_{\max}=4\sqrt2.$$
г) На полуинтервале $$(6;8]$$
Функция возрастает, поэтому наибольшего значения достигает в правой границе:
$$y_{\max}=8^{\frac52}=8^2\sqrt8=64\cdot 2\sqrt2=128\sqrt2.$$
Наименьшего значения нет, так как точка $$x=6$$ не входит в промежуток.
Ответ: а) $$y_{\min}=0$$, $$y_{\max}$$ не существует; б) $$y_{\min}=1$$, $$y_{\max}$$ не существует; в) $$y_{\min}=1$$, $$y_{\max}=4\sqrt2$$; г) $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}=128\sqrt2$$.
