Упр.37.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Имеет ли смысл выражение: а) $$5^{-\frac{4}{3}}$$; б) $$(-16)^{\frac{2}{3}}$$; в) $$23^{-\frac{3}{2}}$$; г) $$(-25)^{-\frac{1}{2}}$$?

Для степени с дробным показателем основание должно быть неотрицательным, если знаменатель показателя чётный.

1. $$5^{-\frac{4}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{5^4}}$$
   Основание неотрицательное, значит выражение имеет смысл.
2. $$(-16)^{\frac{2}{3}}$$
   Здесь знаменатель показателя равен $$3$$, то есть корень кубический, но основание отрицательное допустимо. Однако степень можно понимать как
   $$(-16)^{\frac{2}{3}}=\left(\sqrt[3]{-16}\right)^2,$$
   поэтому выражение имеет смысл.
3. $$23^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{\sqrt{23^3}}$$
   Основание положительное, значит выражение имеет смысл.
4. $$(-25)^{-\frac{1}{2}}$$
   Здесь требуется квадратный корень из отрицательного числа, поэтому выражение не имеет смысла.

Ответ: а) имеет; б) имеет; в) имеет; г) не имеет.