Упр.36.31 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$\frac{x\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[3]{x^2}-1}-\frac{\sqrt[3]{x^2}-1}{\sqrt[3]{x}+1}=4$$

Пусть $$y=\sqrt[3]{x}.$$ Тогда $$\sqrt[3]{x^2}=y^2.$$

а) Имеем:

$$\frac{x\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[3]{x^2}-1}-\frac{\sqrt[3]{x^2}-1}{\sqrt[3]{x}+1}=4.$$

Так как $$x\sqrt[3]{x}=x\cdot x^{1/3}=x^{4/3}=y^4,$$ то

$$\frac{y^4-1}{y^2-1}-\frac{y^2-1}{y+1}=4.$$

Разложим на множители:

$$\frac{(y^2-1)(y^2+1)}{y^2-1}-\frac{(y-1)(y+1)}{y+1}=4.$$

С учётом ОДЗ $$y^2-1\ne 0,\; y+1\ne 0,$$ получаем:

$$y^2+1-(y-1)=4,$$

$$y^2-y-2=0,$$

$$\left(y-2\right)\left(y+1\right)=0.$$

Отсюда $$y=2$$ или $$y=-1.$$

Но $$y=-1$$ не подходит, так как тогда $$\sqrt[3]{x}+1=0.$$

Значит, $$y=2,$$ то есть

$$\sqrt[3]{x}=2,\qquad x=8.$$

Проверка ОДЗ: $$x\ne 1,\; x\ne -1,$$ поэтому найденное значение подходит.

Ответ: $$8.$$

б) Имеем:

$$\frac{x+8}{\sqrt[3]{x}+2}+\frac{\sqrt[3]{x^2}-25}{\sqrt[3]{x}+5}=5.$$

Положим $$y=\sqrt[3]{x}.$$ Тогда $$x=y^3,\; \sqrt[3]{x^2}=y^2,$$ и уравнение принимает вид

$$\frac{y^3+8}{y+2}+\frac{y^2-25}{y+5}=5.$$

Разложим на множители:

$$\frac{(y+2)(y^2-2y+4)}{y+2}+\frac{(y-5)(y+5)}{y+5}=5.$$

С учётом ОДЗ $$y\ne -2,\; y\ne -5$$ получаем:

$$y^2-2y+4+y-5=5,$$

$$y^2-y-6=0,$$

$$\left(y-3\right)\left(y+2\right)=0.$$

Отсюда $$y=3$$ или $$y=-2.$$

Значение $$y=-2$$ не подходит по ОДЗ, значит $$y=3.$$ Тогда

$$\sqrt[3]{x}=3,\qquad x=27.$$

Ответ: $$27.$$