Упр.36.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите значение выражения:
   
   а) $$\frac{4-\sqrt[3]{2}}{\left(\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{8}\right)^2}$$;
   
   б) $$\frac{\sqrt[3]{9}+\sqrt{3}}{\sqrt[3]{3}+2\sqrt[6]{3}+1}$$.

а)

$$\frac{4-3\sqrt2}{\left(\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{8}\right)^2} = \frac{4-3\sqrt2}{\left(\sqrt2-2\sqrt[4]{2}\cdot\sqrt[4]{8}+\sqrt[4]{8}^2\right)}$$

Так как $$\sqrt[4]{8}=\sqrt[4]{2^3}=\sqrt[4]{2}\cdot\sqrt2,$$ то
$$\left(\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{8}\right)^2 = \sqrt2-2\sqrt[4]{2}\cdot\sqrt[4]{8}+\sqrt[4]{8}^2 = \sqrt2-4+2\sqrt2 = 3\sqrt2-4.$$

Тогда
$$\frac{4-3\sqrt2}{\left(\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{8}\right)^2} = \frac{4-3\sqrt2}{3\sqrt2-4} = -1.$$

б)

$$\frac{\left(\sqrt[3]{9}+\sqrt3\right)^2}{\sqrt[3]{3}+2\sqrt[6]{3}+1} = \frac{\left(\sqrt[3]{3^2}+\sqrt3\right)^2}{\sqrt[3]{3}+2\sqrt[6]{3}+1}$$

Раскроем квадрат в числителе:
$$\left(\sqrt[3]{9}+\sqrt3\right)^2 = \sqrt[3]{9}^2+2\sqrt[3]{9}\cdot\sqrt3+3 = \sqrt[3]{81}+2\sqrt[3]{9}\cdot\sqrt3+3.$$

Преобразуем степени:
$$\sqrt[3]{81}=3\sqrt[3]{3}, \qquad 2\sqrt[3]{9}\cdot\sqrt3=2\sqrt[3]{3^2}\cdot\sqrt3=2\sqrt[6]{3^6}=2\cdot3\sqrt[6]{3}=6\sqrt[6]{3}.$$

Тогда
$$\left(\sqrt[3]{9}+\sqrt3\right)^2 = 3\sqrt[3]{3}+6\sqrt[6]{3}+3 = 3\left(\sqrt[3]{3}+2\sqrt[6]{3}+1\right).$$

Следовательно,
$$\frac{\left(\sqrt[3]{9}+\sqrt3\right)^2}{\sqrt[3]{3}+2\sqrt[6]{3}+1} = 3.$$

в)

$$\frac{\left(\sqrt[4]{24}+\sqrt[4]{6}\right)^2}{4\sqrt3+3\sqrt6}$$

Вынесем $$\sqrt[4]{6}$$:
$$\sqrt[4]{24}+\sqrt[4]{6} = \sqrt[4]{6}\left(\sqrt[4]{4}+1\right) = \sqrt[4]{6}\left(\sqrt2+1\right).$$

Тогда
$$\left(\sqrt[4]{24}+\sqrt[4]{6}\right)^2 = \sqrt6\,(\sqrt2+1)^2 = \sqrt6\,(3+2\sqrt2).$$

Знаменатель:
$$4\sqrt3+3\sqrt6 = \sqrt3\,(4+3\sqrt2).$$

Получаем
$$\frac{\left(\sqrt[4]{24}+\sqrt[4]{6}\right)^2}{4\sqrt3+3\sqrt6} = \frac{\sqrt6\,(3+2\sqrt2)}{\sqrt3\,(4+3\sqrt2)} = \frac{\sqrt2\,(3+2\sqrt2)}{4+3\sqrt2} = \frac{3\sqrt2+4}{4+3\sqrt2} = 1.$$

г)

$$\frac{1-2\sqrt[4]{5}+\sqrt5}{\left(\sqrt3-\sqrt[4]{45}\right)^2}$$

Так как
$$\sqrt[4]{45}=\sqrt[4]{9\cdot5}=\sqrt3\cdot\sqrt[4]{5},$$
то
$$\left(\sqrt3-\sqrt[4]{45}\right)^2 = \left(\sqrt3-\sqrt3\sqrt[4]{5}\right)^2 = (\sqrt3)^2\left(1-\sqrt[4]{5}\right)^2 = 3\left(1-2\sqrt[4]{5}+\sqrt5\right).$$

Следовательно,
$$\frac{1-2\sqrt[4]{5}+\sqrt5}{\left(\sqrt3-\sqrt[4]{45}\right)^2} = \frac{1-2\sqrt[4]{5}+\sqrt5}{3\left(1-2\sqrt[4]{5}+\sqrt5\right)} = \frac13.$$

Ответ: а) $$-1$$; б) $$3$$; в) $$1$$; г) $$\frac13$$.