Упр.36.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Сравните числа: а) $$-\sqrt[5]{2\sqrt[4]{10}}$$ и $$-\sqrt[4]{\sqrt[5]{99}}$$; б) $$\sqrt{2\sqrt[3]{3}}$$ и $$\sqrt[3]{5}$$; в) $$\sqrt[4]{3}$$ и $$\sqrt[8]{6\sqrt{2}}$$; г) $$-\sqrt{2\sqrt[3]{6}}$$ и $$-\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$$.

а) Преобразуем выражения к корням одной и той же степени:

$$-\sqrt[5]{2\sqrt[4]{10}}=-\sqrt[20]{2^4\cdot 10}=-\sqrt[20]{160},$$

$$-\sqrt[4]{\sqrt[5]{99}}=-\sqrt[20]{99}.$$

Так как $$160>99,$$ а функция $$\sqrt[20]{x}$$ возрастает, то

$$-\sqrt[20]{160}<-\sqrt[20]{99}.$$

Ответ: $$-\sqrt[5]{2\sqrt[4]{10}}<-\sqrt[4]{\sqrt[5]{99}}.$$

б) Преобразуем:

$$\sqrt{2\sqrt[3]{3}}=\sqrt[6]{2^3\cdot 3}=\sqrt[6]{24},$$

$$\sqrt[3]{5}=\sqrt[6]{25}.$$

Так как $$24<25,$$ то

$$\sqrt[6]{24}<\sqrt[6]{25}.$$

Ответ: $$\sqrt{2\sqrt[3]{3}}<\sqrt[3]{5}.$$

в) Преобразуем:

$$\sqrt[4]{3}=\sqrt[16]{3^4}=\sqrt[16]{81},$$

$$\sqrt[8]{6\sqrt{2}}=\sqrt[16]{6^2\cdot 2}=\sqrt[16]{72}.$$

Так как $$81>72,$$ то

$$\sqrt[16]{81}>\sqrt[16]{72}.$$

Ответ: $$\sqrt[4]{3}>\sqrt[8]{6\sqrt{2}}.$$

г) Преобразуем:

$$-\sqrt{2\sqrt[3]{6}}=-\sqrt[6]{2^2\cdot 6}=-\sqrt[6]{24},$$

$$-\sqrt[3]{5\sqrt{2}}=-\sqrt[6]{5^2\cdot 2}=-\sqrt[6]{50}.$$

Так как $$24<50,$$ то

$$-\sqrt[6]{24}>-\sqrt[6]{50}.$$

Ответ: $$-\sqrt{2\sqrt[3]{6}}>-\sqrt[3]{5\sqrt{2}}.$$