Упр.36.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\frac{\sqrt{a}-\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b}}$$;

   б) $$\frac{\sqrt[5]{x^9}-1}{\sqrt[5]{x^3}-1}$$;

   в) $$\frac{\sqrt{b}-a^3}{a\sqrt{a}+\sqrt[4]{b}}$$;

   г) $$\frac{\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{\sqrt[6]{a}-\sqrt{b}}$$.

а) $$\frac{\sqrt{a}-\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b}}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt[3]{b^2}\right)\left(\sqrt[4]{a}+\sqrt[3]{b}\right)}{\left(\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[4]{a}+\sqrt[3]{b}\right)}$$

Так как $$\left(\sqrt[4]{a}\right)^2=\sqrt{a}, \qquad \left(\sqrt[3]{b}\right)^2=\sqrt[3]{b^2},$$ то

$$\left(\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[4]{a}+\sqrt[3]{b}\right)=\sqrt{a}-\sqrt[3]{b^2}.$$

Следовательно,

$$\frac{\sqrt{a}-\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b}}=\sqrt[4]{a}+\sqrt[3]{b}.$$

б) $$\frac{\sqrt[5]{x^9}-1}{\sqrt[5]{x^3}-1}=\frac{\left(\sqrt[5]{x^3}\right)^3-1^3}{\sqrt[5]{x^3}-1}$$

Используем формулу $$u^3-1^3=(u-1)(u^2+u+1):$$

$$\frac{\left(\sqrt[5]{x^3}\right)^3-1^3}{\sqrt[5]{x^3}-1}=\left(\sqrt[5]{x^3}\right)^2+\sqrt[5]{x^3}+1.$$

Так как $$\left(\sqrt[5]{x^3}\right)^2=\sqrt[5]{x^6}=x\sqrt[5]{x},$$ получаем

$$\frac{\sqrt[5]{x^9}-1}{\sqrt[5]{x^3}-1}=x\sqrt[5]{x}+\sqrt[5]{x^3}+1.$$

в) $$\frac{\sqrt{b}-a^3}{a\sqrt{a}+\sqrt[4]{b}}=\frac{\sqrt{b}-\left(\sqrt[4]{b}\right)^4}{a\sqrt{a}+\sqrt[4]{b}}$$

Представим числитель как разность квадратов:

$$\sqrt{b}-a^3=\left(\sqrt[4]{b}-a\sqrt{a}\right)\left(\sqrt[4]{b}+a\sqrt{a}\right),$$

поскольку $$\left(\sqrt[4]{b}\right)^2=\sqrt{b}, \qquad \left(a\sqrt{a}\right)^2=a^3.$$

Тогда

$$\frac{\sqrt{b}-a^3}{a\sqrt{a}+\sqrt[4]{b}}=\sqrt[4]{b}-a\sqrt{a}.$$

г) $$\frac{\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{\sqrt[6]{a}-\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}-\left(\sqrt[6]{b}\right)^3}{\sqrt[6]{a}-\sqrt{b}}.$$

Заметим, что

$$\sqrt{a}=\left(\sqrt[6]{a}\right)^3, \qquad b\sqrt{b}=\left(\sqrt[6]{b}\right)^3.$$

Тогда числитель — разность кубов:

$$\sqrt{a}-b\sqrt{b}=\left(\sqrt[6]{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[6]{ab^3}+b\right).$$

Сокращаем на $$\sqrt[6]{a}-\sqrt{b}$$:

$$\frac{\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{\sqrt[6]{a}-\sqrt{b}}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[6]{ab^3}+b.$$

Ответ: а) $$\sqrt[4]{a}+\sqrt[3]{b}$$; б) $$x\sqrt[5]{x}+\sqrt[5]{x^3}+1$$; в) $$\sqrt[4]{b}-a\sqrt{a}$$; г) $$\sqrt[3]{a}+\sqrt[6]{ab^3}+b$$.