Упр.36.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

$$\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)$$
$$\left(3+\sqrt[4]{a}\right)\left(9-3\sqrt[4]{a}+\sqrt{a}\right)$$
$$\left(2\sqrt{p}+\sqrt{q}\right)\left(4p-2\sqrt{pq}+q\right)$$
$$\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[6]{ab}+\sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}\right)$$

Подробный ответ

а)

$$\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)$$

Раскроем скобки:

$$x\sqrt{x}-\sqrt{x}\cdot\sqrt{xy}+y\sqrt{x}+x\sqrt{y}-\sqrt{y}\cdot\sqrt{xy}+y\sqrt{y}$$

Так как $$\sqrt{x}\cdot\sqrt{xy}=x\sqrt{y}$$ и $$\sqrt{y}\cdot\sqrt{xy}=y\sqrt{x},$$ получаем:

$$x\sqrt{x}-x\sqrt{y}+y\sqrt{x}+x\sqrt{y}-y\sqrt{x}+y\sqrt{y}=x\sqrt{x}+y\sqrt{y}$$

б)

$$\left(3+\sqrt[4]{a}\right)\left(9-3\sqrt[4]{a}+\sqrt{a}\right)$$

Раскроем скобки:

$$27-9\sqrt[4]{a}+3\sqrt{a}+9\sqrt[4]{a}-3\sqrt{a}+\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt{a}$$

Так как $$\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt{a}=\sqrt[4]{a^3},$$ то

$$27+\sqrt[4]{a^3}$$

в)

$$\left(2\sqrt{p}+\sqrt{q}\right)\left(4p-2\sqrt{pq}+q\right)$$

Раскроем скобки:

$$8p\sqrt{p}-4\sqrt{p}\cdot\sqrt{pq}+2q\sqrt{p}+4p\sqrt{q}-2\sqrt{q}\cdot\sqrt{pq}+q\sqrt{q}$$

Так как $$\sqrt{p}\cdot\sqrt{pq}=p\sqrt{q}$$ и $$\sqrt{q}\cdot\sqrt{pq}=q\sqrt{p},$$ получаем:

$$8p\sqrt{p}-4p\sqrt{q}+2q\sqrt{p}+4p\sqrt{q}-2q\sqrt{p}+q\sqrt{q}=8p\sqrt{p}-2q\sqrt{q}$$

г)

$$\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[6]{ab}+\sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}\right)$$

Раскроем скобки:

$$\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[6]{a}-\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[6]{b}+\sqrt[6]{ab}\cdot\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{ab}\cdot\sqrt[6]{b}+\sqrt[3]{b}\cdot\sqrt[6]{a}-\sqrt[3]{b}\cdot\sqrt[6]{b}$$

Преобразуем произведения корней:

$$\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[6]{a}=\sqrt{a},\quad \sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[6]{b}=\sqrt[6]{a^2b},\quad \sqrt[6]{ab}\cdot\sqrt[6]{a}=\sqrt[3]{a^2b},$$

$$\sqrt[6]{ab}\cdot\sqrt[6]{b}=\sqrt[3]{ab^2},\quad \sqrt[3]{b}\cdot\sqrt[6]{a}=\sqrt[6]{ab^2},\quad \sqrt[3]{b}\cdot\sqrt[6]{b}=\sqrt{b}.$$

После сокращения одинаковых слагаемых получаем:

$$\sqrt{a}-\sqrt{b}$$