Упр.35.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

1. а) $$\sqrt[3]{x}-2\sqrt[6]{x}=0$$; б) $$\sqrt{x}-5\sqrt[4]{x}+6=0$$; в) $$\sqrt[6]{x}+2\sqrt[3]{x}-1=0$$; г) $$\sqrt[4]{x}+2\sqrt[8]{x}-3=0$$.

а) $$\sqrt[3]{x}-2\sqrt[6]{x}=0$$

Положим $$y=\sqrt[6]{x}$$. Тогда $$\sqrt[3]{x}=y^2$$, и уравнение принимает вид:

$$y^2-2y=0$$

$$y(y-2)=0$$

Отсюда:

$$y=0 \quad \text{или} \quad y=2$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\sqrt[6]{x}=0 \Rightarrow x=0$$

$$\sqrt[6]{x}=2 \Rightarrow x=64$$

Ответ: $$0; 64$$

б) $$\sqrt{x}-5\sqrt[4]{x}+6=0$$

Положим $$y=\sqrt[4]{x}$$. Тогда $$\sqrt{x}=y^2$$, и получаем:

$$y^2-5y+6=0$$

$$\left(y-2\right)\left(y-3\right)=0$$

Отсюда:

$$y=2 \quad \text{или} \quad y=3$$

Тогда:

$$\sqrt[4]{x}=2 \Rightarrow x=16$$

$$\sqrt[4]{x}=3 \Rightarrow x=81$$

Ответ: $$16; 81$$

в) $$\sqrt[6]{x}+2\sqrt[3]{x}-1=0$$

Положим $$y=\sqrt[6]{x}$$. Тогда $$\sqrt[3]{x}=y^2$$, и уравнение имеет вид:

$$2y^2+y-1=0$$

$$\left(2y-1\right)\left(y+1\right)=0$$

Отсюда:

$$y=\frac12 \quad \text{или} \quad y=-1$$

Так как $$y=\sqrt[6]{x}\ge 0$$, значение $$y=-1$$ не подходит. Значит,

$$\sqrt[6]{x}=\frac12 \Rightarrow x=\frac{1}{64}$$

Ответ: $$\frac{1}{64}$$

г) $$\sqrt[4]{x}+2\sqrt[8]{x}-3=0$$

Положим $$y=\sqrt[8]{x}$$. Тогда $$\sqrt[4]{x}=y^2$$, и получаем:

$$y^2+2y-3=0$$

$$\left(y+3\right)\left(y-1\right)=0$$

Отсюда:

$$y=-3 \quad \text{или} \quad y=1$$

Так как $$y=\sqrt[8]{x}\ge 0$$, значение $$y=-3$$ не подходит. Значит,

$$\sqrt[8]{x}=1 \Rightarrow x=1$$

Ответ: $$1$$