Упр.34.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите точки пересечения графиков функций: а) $$y=\sqrt[4]{x}$$ и $$y=x^2$$; б) $$y=\sqrt[3]{x}$$ и $$y=|x|$$; в) $$y=\sqrt[6]{x}$$ и $$y=x$$; г) $$y=\sqrt[5]{x}$$ и $$y=-x-2$$.
Найдём точки пересечения графиков, приравнивая правые части функций.
$$\sqrt[4]{x}=x^2$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Возведём обе части в четвёртую степень:
$$x=(x^2)^4=x^8$$
$$x^8-x=0$$
$$x(x^7-1)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=1$$
Тогда $$y=0$$ и $$y=1.$$
Точки пересечения: $$(0;0),\ (1;1).$$
$$\sqrt[3]{x}=|x|$$
Рассмотрим случаи.
Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и получаем:
$$\sqrt[3]{x}=x$$
$$x=x^3$$
$$x(x^2-1)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=1$$
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и уравнение
$$\sqrt[3]{x}=-x$$
даёт после возведения в куб:
$$x=-x^3$$
$$x(x^2+1)=0$$
При $$x<0$$ подходит только $$x=0,$$ но это не входит в случай $$x<0.$$
Значит, точки пересечения: $$(0;0),\ (1;1).$$
$$\sqrt[6]{x}=x$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Возведём обе части в шестую степень:
$$x=x^6$$
$$x^6-x=0$$
$$x(x^5-1)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=1$$
Тогда $$y=0$$ и $$y=1.$$
Точки пересечения: $$(0;0),\ (1;1).$$
$$\sqrt[5]{x}=-x-2$$
Проверим подходящие значения. При $$x=-1$$ получаем:
$$\sqrt[5]{-1}=-1,\qquad -(-1)-2=-1.$$
Значит, $$(-1;-1)$$ — точка пересечения.
Других точек пересечения нет.
Ответ: а) $$(0;0),\ (1;1);$$ б) $$(0;0),\ (1;1);$$ в) $$(0;0),\ (1;1);$$ г) $$(-1;-1).$$
