Упр.34.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее значение функции: а) $$y=\sqrt[4]{x^2-6x+8}$$; б) $$y=\sqrt[6]{x^2+6x+10}$$.

а) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt[4]{x^2-6x+8}.$$

Так как функция $$\sqrt[4]{t}$$ возрастает при $$t\ge 0$$, достаточно найти наименьшее значение подкоренного выражения:

$$x^2-6x+8=(x-2)(x-4).$$

Это выражение обращается в ноль при $$x=2$$ и $$x=4$$, а между этими точками неотрицательно. Следовательно, наименьшее значение подкоренного выражения равно $$0$$.

Тогда

$$y_{\min}=\sqrt[4]{0}=0.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt[6]{x^2+6x+10}.$$

Так как функция $$\sqrt[6]{t}$$ возрастает при $$t\ge 0$$, найдём наименьшее значение выражения под корнем:

$$x^2+6x+10=(x+3)^2+1.$$

Поскольку $$\left(x+3\right)^2\ge 0$$, то

$$x^2+6x+10\ge 1.$$

Равенство достигается при $$x=-3$$. Значит,

$$y_{\min}=\sqrt[6]{1}=1.$$

Ответ: а) $$0$$; б) $$1$$.