Упр.32.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=x^3+3x^2-45x-2$$ на отрезке: а) $$[-6; 0]$$; б) $$[1; 2]$$; в) $$[-6; -1]$$; г) $$[0; 2]$$.

Найдём производную функции $$y=x^3+3x^2-45x-2.$$

$$y’ = 3x^2+6x-45 = 3(x^2+2x-15)=3(x+5)(x-3).$$

Критические точки: $$x=-5$$ и $$x=3.$$

Вычислим значения функции в концах отрезков и в критических точках, если они принадлежат отрезку.

а) $$[-6;0]$$

$$\begin{aligned} y(-6)&=(-6)^3+3\cdot(-6)^2-45\cdot(-6)-2=160,\\ y(-5)&=(-5)^3+3\cdot(-5)^2-45\cdot(-5)-2=173,\\ y(0)&=0^3+3\cdot0^2-45\cdot0-2=-2. \end{aligned}$$

Наименьшее значение: $$-2,$$ наибольшее значение: $$173.$$

б) $$[1;2]$$

Критические точки $$-5$$ и $$3$$ не принадлежат отрезку, поэтому проверяем только концы:

$$\begin{aligned} y(1)&=1^3+3\cdot1^2-45\cdot1-2=-43,\\ y(2)&=2^3+3\cdot2^2-45\cdot2-2=-72. \end{aligned}$$

Наименьшее значение: $$-72,$$ наибольшее значение: $$-43.$$

в) $$[-6;-1]$$

Здесь учитываем точки $$-6,$$ $$-5$$ и $$-1.$$

$$\begin{aligned} y(-6)&=160,\\ y(-5)&=173,\\ y(-1)&=(-1)^3+3\cdot(-1)^2-45\cdot(-1)-2=45. \end{aligned}$$

Наименьшее значение: $$45,$$ наибольшее значение: $$173.$$

г) $$[0;2]$$

Проверяем точки $$0$$ и $$2.$$

$$\begin{aligned} y(0)&=-2,\\ y(2)&=-72. \end{aligned}$$

Наименьшее значение: $$-72,$$ наибольшее значение: $$-2.$$

Ответ: а) $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}=173$$; б) $$y_{\min}=-72,$$ $$y_{\max}=-43$$; в) $$y_{\min}=45,$$ $$y_{\max}=173$$; г) $$y_{\min}=-72,$$ $$y_{\max}=-2$$.