Упр.32.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=\sin x$$ на отрезке: а) $$[0;\frac{2\pi}{3}]$$; б) $$[2\pi;\frac{8\pi}{3}]$$; в) $$[-2\pi;-\frac{4\pi}{3}]$$; г) $$[6\pi;\frac{26\pi}{3}]$$.
Для функции $$y=\sin x$$ имеем $$y’=\cos x.$$
Стационарные точки находятся из уравнения $$\cos x=0,$$ то есть $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\; k\in\mathbb Z.$$
На каждом из данных отрезков проверим значения функции в концах отрезка и в стационарных точках, попавших внутрь отрезка.
а) $$\left[0;\frac{2\pi}{3}\right]$$
В отрезок попадает точка $$x=\frac{\pi}{2}.$$ Тогда
$$\sin 0=0,\qquad \sin \frac{\pi}{2}=1,\qquad \sin \frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}.$$
Следовательно, $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=1.$$
б) $$\left[2\pi;\frac{8\pi}{3}\right]$$
В отрезок попадает точка $$x=\frac{5\pi}{2}.$$ Тогда
$$\sin 2\pi=0,\qquad \sin \frac{5\pi}{2}=1,\qquad \sin \frac{8\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}.$$
Следовательно, $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=1.$$
в) $$\left[-2\pi;-\frac{4\pi}{3}\right]$$
В отрезок попадает точка $$x=-\frac{3\pi}{2}.$$ Тогда
$$\sin(-2\pi)=0,\qquad \sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right)=1,\qquad \sin\left(-\frac{4\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{2}.$$
Следовательно, $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=1.$$
г) $$\left[6\pi;\frac{26\pi}{3}\right]$$
В отрезок попадают точки $$x=\frac{13\pi}{2}$$ и $$x=\frac{15\pi}{2}.$$ Тогда
$$\sin 6\pi=0,\qquad \sin \frac{13\pi}{2}=1,\qquad \sin \frac{15\pi}{2}=-1,\qquad \sin \frac{26\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}.$$
Следовательно, $$y_{\min}=-1,$$ $$y_{\max}=1.$$
Ответ
а) $$y_{\min}=0,\; y_{\max}=1$$;
б) $$y_{\min}=0,\; y_{\max}=1$$;
в) $$y_{\min}=0,\; y_{\max}=1$$;
г) $$y_{\min}=-1,\; y_{\max}=1$$.
