Упр.32.40 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

База находится в лесу в $$5\ \text{км}$$ от дороги, а в $$13\ \text{км}$$ от базы на этой дороге есть железнодорожная станция. Пешеход по дороге идёт со скоростью $$5\ \text{км/ч}$$, а по лесу — $$3\ \text{км/ч}$$. За какое минимальное время пешеход может добраться от базы до станции?

Обозначим через $$x$$ расстояние от точки выхода пешехода на дорогу до основания перпендикуляра, опущенного из базы на дорогу. Тогда по дороге он проходит $$12-x$$ км, а по лесу —

$$\sqrt{5^2+x^2}=\sqrt{25+x^2}.$$

Время движения:

$$t(x)=\frac{12-x}{5}+\frac{\sqrt{25+x^2}}{3}, \qquad 0\le x\le 12.$$

Найдём минимум функции:

$$t'(x)=-\frac15+\frac{x}{3\sqrt{25+x^2}}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$-\frac15+\frac{x}{3\sqrt{25+x^2}}=0$$

$$\frac{x}{\sqrt{25+x^2}}=\frac35.$$

Возведём в квадрат:

$$25x^2=9(25+x^2)$$

$$25x^2=225+9x^2$$

$$16x^2=225$$

$$x=\frac{15}{4}.$$

Тогда

$$t_{\min}=t\!\left(\frac{15}{4}\right)=\frac{12-\frac{15}{4}}{5}+\frac{\sqrt{25+\left(\frac{15}{4}\right)^2}}{3}.$$

Вычислим:

$$\frac{12-\frac{15}{4}}{5}=\frac{\frac{33}{4}}{5}=\frac{33}{20},$$

$$\sqrt{25+\frac{225}{16}}=\sqrt{\frac{625}{16}}=\frac{25}{4},$$

$$\frac{\frac{25}{4}}{3}=\frac{25}{12}.$$

Следовательно,

$$t_{\min}=\frac{33}{20}+\frac{25}{12}=\frac{99+125}{60}=\frac{224}{60}=\frac{56}{15}\text{ ч}.$$

$$\frac{56}{15}\text{ ч}=3\text{ ч }44\text{ мин}.$$

Ответ

$$3\text{ ч }44\text{ мин}.$$