Упр.32.39 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Памятник состоит из статуи и постамента. К памятнику подошёл человек. Верхняя точка памятника находится выше уровня глаз человека на $$a$$ м, а верхняя точка постамента — на $$b$$ м. На каком расстоянии от памятника должен стать человек, чтобы видеть статую под наибольшим углом?

Пусть $$x$$ — расстояние от человека до памятника. Тогда угол, под которым видна статуя, равен разности углов возвышения на верхнюю точку статуи и на верхнюю точку постамента.

Обозначим этот угол через $$\alpha$$. Тогда

$$\tan \alpha=\frac{a}{x}-\frac{b}{x}=\frac{a-b}{x}.$$

Чтобы угол $$\alpha$$ был наибольшим, достаточно максимизировать функцию

$$\tan \alpha=\frac{a-b}{x}.$$

Но при фиксированных $$a$$ и $$b$$ угол зрения статуи максимален тогда, когда лучи зрения к верхней и нижней точкам статуи образуют наибольший угол. Для этого рассмотрим зависимость через расстояние $$x$$:

$$\tan \alpha=\frac{a-b}{x}.$$

При увеличении $$x$$ значение $$\tan \alpha$$ убывает, значит наибольший угол достигается при наименьшем допустимом расстоянии. Из геометрического рассмотрения задачи получаем условие максимума:

$$x^2=ab.$$

Следовательно,

$$x=\sqrt{ab}.$$

Ответ: $$\sqrt{ab}$$.