Упр.32.38 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. У пятиугольника углы $$A$$, $$B$$ и $$E$$ — прямые, $$AB=a$$, $$BC=b$$, $$AE=c$$, $$DE=m$$. Впишите в пятиугольник прямоугольник наибольшей площади и вычислите эту площадь, если:
   а) $$a=7$$, $$b=9$$, $$c=3$$, $$m=5$$;
   б) $$a=7$$, $$b=18$$, $$c=3$$, $$m=1$$.

Пусть прямоугольник вписан так, что его левая сторона лежит на $$AB$$, нижняя — на $$AE$$, а верхняя правая вершина касается стороны $$CD$$. Обозначим через $$x$$ ширину прямоугольника, а через $$y$$ — его высоту.

Тогда площадь прямоугольника равна $$S=xy.$$

Из геометрии пятиугольника получаем, что возможны два случая:

1. прямоугольник целиком помещается в прямоугольник $$ABE_1E$$, тогда $$S=ac;$$
2. прямоугольник упирается в наклонную сторону $$CD$$, и тогда максимальная площадь равна
   $$S=\frac{((a-m)c+m(c-b))^2}{4(a-m)(c-b)}.$$

Сравним эти значения для каждого пункта.

а) $$a=7,\quad b=9,\quad c=3,\quad m=5.$$

Так как $$c-b=3-9<0,$$ то второй случай невозможен, и максимальная площадь равна

$$S_{\max}=ac=7\cdot 3=21.$$

б) $$a=7,\quad b=18,\quad c=3,\quad m=1.$$

Здесь $$c-b=3-18<0,$$ значит снова подходит первый случай:

$$S_{\max}=ac=7\cdot 3=21.$$

Ответ: а) $$21$$; б) $$21$$.