Упр.32.37 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Из прямоугольной трапеции с основаниями $$a$$ и $$b$$ и высотой $$h$$ вырезают прямоугольник наибольшей площади. Чему равна эта площадь, если:
а) $$a=80$$, $$b=60$$, $$h=100$$;
б) $$a=24$$, $$b=8$$, $$h=12$$?

Пусть в прямоугольной трапеции вырезан прямоугольник со сторонами $$x$$ и $$y$$, где $$x$$ лежит на основании $$AD$$, а $$y$$ — на высоте трапеции.

Тогда из подобия соответствующих прямоугольных треугольников получаем линейную зависимость:

$$y=\frac{h(a-x)}{a-b}.$$

Площадь прямоугольника равна

$$S(x)=xy=x\cdot \frac{h(a-x)}{a-b}=\frac{h(ax-x^2)}{a-b}.$$

Это квадратичная функция, ветви которой направлены вниз, значит, максимум достигается в вершине параболы:

$$x_0=\frac{a}{2}.$$

Но это значение подходит только тогда, когда $$x_0\ge b$$. Поэтому:

• если $$\frac{a}{2}\ge b$$, то максимум достигается при $$x=\frac{a}{2}$$ и

$$S_{\max}=\frac{h\left(a\cdot \frac{a}{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^2\right)}{a-b}=\frac{a^2h}{4(a-b)};$$

• если $$\frac{a}{2}

$$S_{\max}=bh.$$

Теперь подставим данные.

а) $$a=80,\ b=60,\ h=100.$$ Здесь $$\frac{a}{2}=40<60,$$ значит,

$$S_{\max}=bh=60\cdot 100=6000.$$

б) $$a=24,\ b=8,\ h=12.$$ Здесь $$\frac{a}{2}=12>8,$$ значит,

$$S_{\max}=\frac{a^2h}{4(a-b)}=\frac{24^2\cdot 12}{4(24-8)}=\frac{576\cdot 12}{64}=108.$$

Ответ

а) $$6000$$; б) $$108$$.