Упр.32.36 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Боковые стороны и одно из оснований трапеции равны 15 см. При какой длине второго основания площадь трапеции будет наибольшей?

Обозначим длину второго основания трапеции через $$x$$, а высоту — через $$h$$.

Так как трапеция равнобедренная, то половина разности оснований равна $$\dfrac{x-15}{2}$$. По теореме Пифагора для боковой стороны:

$$15^2=\left(\frac{x-15}{2}\right)^2+h^2.$$

Отсюда

$$h^2=225-\frac{(x-15)^2}{4}=\frac{(45-x)(15+x)}{4}.$$

Тогда площадь трапеции

$$S(x)=\frac{15+x}{2}\cdot h=\frac{15+x}{2}\cdot \sqrt{\frac{(45-x)(15+x)}{4}}=\frac14\sqrt{(45-x)(15+x)^3}.$$

Максимум площади достигается тогда, когда максимальна функция

$$t(x)=(45-x)(15+x)^3.$$

Найдём производную:

$$t'(x)=-(15+x)^3+3(45-x)(15+x)^2=(15+x)^2(120-4x).$$

Критическая точка:

$$120-4x=0 \quad \Rightarrow \quad x=30.$$

При $$x<30$$ производная положительна, а при $$x>30$$ — отрицательна, значит, в точке $$x=30$$ площадь трапеции наибольшая.

Ответ: $$30$$ см.