Упр.32.34 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Для перевозки груза требуется изготовить закрытый короб в форме прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого относились бы как $$2:3$$, а объём составлял $$576\ \text{м}^3$$. Каковы должны быть измерения параллелепипеда, чтобы его полная поверхность была наименьшей?

Пусть стороны основания коробки равны $$2x$$ и $$3x,$$ а высота равна $$h.$$ Тогда объём:

$$V=2x\cdot 3x\cdot h=6x^2h=576,$$

откуда

$$h=\frac{576}{6x^2}=\frac{96}{x^2}.$$

Полная поверхность закрытого параллелепипеда:

$$S=2(ab+ah+bh),$$

где $$a=2x,$$ $$b=3x.$$ Тогда

$$S=2(2x\cdot 3x+2x\cdot h+3x\cdot h)=12x^2+10xh.$$

Подставим $$h=\frac{96}{x^2}:$$

$$S(x)=12x^2+10x\cdot \frac{96}{x^2}=12x^2+\frac{960}{x}, \qquad x>0.$$

Найдём минимум функции:

$$S'(x)=24x-\frac{960}{x^2}.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$24x-\frac{960}{x^2}=0,$$

$$24x^3=960,$$

$$x^3=40,$$

$$x=\sqrt[3]{40}=2\sqrt[3]{5}.$$

Тогда размеры коробки:

$$2x=4\sqrt[3]{5}\ \text{м},$$

$$3x=6\sqrt[3]{5}\ \text{м},$$

$$h=\frac{96}{x^2}=\frac{96}{\left(2\sqrt[3]{5}\right)^2}=\frac{24\sqrt[3]{5}}{5}\ \text{м}.$$

Ответ: $$4\sqrt[3]{5}\ \text{м},\ 6\sqrt[3]{5}\ \text{м},\ \frac{24\sqrt[3]{5}}{5}\ \text{м}.$$