Упр.32.30 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. На графике функции $$y=x^2$$ найдите точку $$M$$, ближайшую к точке $$A(0; 1{,}5)$$.

Пусть искомая точка на параболе имеет координаты $$M(x;x^2).$$

Тогда квадрат расстояния от точки $$A(0;1{,}5)$$ до точки $$M$$ равен

$$AM^2=(x-0)^2+(x^2-1{,}5)^2=x^2+x^4-3x^2+2{,}25=x^4-2x^2+2{,}25.$$

Обозначим

$$f(x)=x^4-2x^2+2{,}25.$$

Найдём её производную:

$$f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1).$$

Критические точки:

$$f'(x)=0 \iff x=-1,\;0,\;1.$$

Исследуем знак производной. Получаем, что наименьшее значение функция $$f(x)$$ принимает при $$x=\pm 1.$$

Тогда координаты ближайших точек:

$$M_1(-1;1), \quad M_2(1;1).$$

Проверим расстояние:

$$AM=\sqrt{(-1)^2+(1-1{,}5)^2}=\sqrt{1+0{,}25}=\sqrt{1{,}25}=\frac{\sqrt5}{2}.$$

Ответ: $$M_1(-1;1),\; M_2(1;1).$$