Упр.32.32 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Открытый металлический бак с квадратным основанием должен вмещать 32 л воды. При каких размерах на его изготовление уйдёт наименьшее количество материала?

Пусть $$a$$ — сторона квадратного основания бака, $$h$$ — его высота. Тогда по условию объём бака равен $$32$$ л $$=32\text{ дм}^3$$, значит

$$a^2h=32,\qquad h=\frac{32}{a^2}.$$

Площадь материала для открытого бака равна площади дна и четырёх боковых стенок:

$$S(a)=a^2+4ah.$$

Подставим выражение для $$h$$:

$$S(a)=a^2+4a\cdot \frac{32}{a^2}=a^2+\frac{128}{a},\qquad a>0.$$

Найдём минимум функции:

$$S'(a)=2a-\frac{128}{a^2}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$2a-\frac{128}{a^2}=0$$

$$2a^3=128$$

$$a^3=64$$

$$a=4.$$

Тогда

$$h=\frac{32}{4^2}=\frac{32}{16}=2.$$

Следовательно, наименьшее количество материала уйдёт на бак с основанием $$4\text{ дм}\times 4\text{ дм}$$ и высотой $$2\text{ дм}$$.

Ответ: $$4\text{ дм}\times 4\text{ дм}\times 2\text{ дм}.$$