Упр.32.29 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Сторона квадрата $$ABCD$$ равна $$8\ \text{см}$$. На сторонах $$AB$$ и $$BC$$ взяты соответственно точки $$P$$ и $$E$$ так, что $$BP=BE=3\ \text{см}$$. На сторонах $$AD$$ и $$CD$$ берутся точки соответственно $$K$$ и $$M$$ так, что четырёхугольник $$KREM$$ — трапеция. Чему равна наибольшая площадь такой трапеции?

Обозначим $$AK=CM=a.$$ Тогда из условия $$ABCD$$ — квадрат со стороной $$8$$ см, а точки $$P$$ и $$E$$ лежат на сторонах $$AB$$ и $$BC$$ так, что $$BP=BE=3$$ см.

Так как $$BP=BE,$$ то прямоугольный треугольник $$PBE$$ равнобедренный, значит

$$\angle BPE=\angle BEP=45^\circ.$$

Поскольку $$KPEM$$ — трапеция, то $$KM \parallel PE.$$ Следовательно, угол между $$KM$$ и сторонами квадрата такой же, как между $$PE$$ и сторонами квадрата, и треугольники $$APK$$ и $$CEM$$ равны по двум сторонам и углу между ними.

Тогда

$$KD=DM=8-a.$$

Площадь квадрата равна $$64$$, а площадь трапеции можно найти как разность площади квадрата и площадей четырёх прямоугольных треугольников:

$$S(a)=64-\frac{3^2}{2}-\frac{(8-a)^2}{2}-2\cdot \frac{a\cdot 5}{2}.$$

Упростим:

$$\begin{aligned} S(a)&=64-\frac{9}{2}-\frac{(8-a)^2}{2}-5a \\ &=64-\frac{9}{2}-\frac{64-16a+a^2}{2}-5a \\ &=32+8a-\frac{a^2}{2}-5a-\frac{9}{2} \\ &= \frac{-a^2+6a+55}{2}. \end{aligned}$$

Это парабола, ветви которой направлены вниз, поэтому наибольшее значение достигается в вершине:

$$a=\frac{-6}{2\cdot(-1)}=3.$$

Тогда

$$S_{\max}=S(3)=\frac{-3^2+6\cdot 3+55}{2}=\frac{64}{2}=32.$$

Ответ: $$32\text{ см}^2$$.