Упр.32.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Огораживают спортивную площадку прямоугольной формы площадью $$2500\ \text{м}^2$$. Каковы должны быть её размеры, чтобы на забор ушло наименьшее количество сетки «рабицы»?

Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$. Тогда по условию

$$ab=2500.$$

Периметр площадки равен

$$P=2a+2b.$$

Выразим одну сторону через другую:

$$b=\frac{2500}{a}.$$

Тогда

$$P(a)=2a+2\cdot \frac{2500}{a}=2a+\frac{5000}{a}, \qquad a>0.$$

Найдём минимум этой функции:

$$P'(a)=2-\frac{5000}{a^2}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$2-\frac{5000}{a^2}=0,$$

$$\frac{5000}{a^2}=2,$$

$$a^2=2500,$$

$$a=50$$

так как $$a>0$$.

Тогда

$$b=\frac{2500}{50}=50.$$

Следовательно, наименьший периметр будет у квадрата со стороной $$50$$ м.

Ответ: $$50\text{ м} \times 50\text{ м}$$.