Упр.32.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Площадь прямоугольника составляет $$16\ \text{см}^2$$. Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим?

Пусть $$a$$ и $$b$$ — стороны прямоугольника. Тогда

$$ab=16.$$

Периметр прямоугольника равен

$$P=2a+2b.$$

Выразим одну сторону через другую:

$$b=\frac{16}{a}, \quad a>0.$$

Тогда периметр как функция одной переменной:

$$P(a)=2a+2\cdot\frac{16}{a}=2a+\frac{32}{a}.$$

Найдём минимум этой функции:

$$P'(a)=2-\frac{32}{a^2}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$2-\frac{32}{a^2}=0,$$

$$2=\frac{32}{a^2},$$

$$a^2=16,$$

$$a=4$$

как положительное число.

Тогда

$$b=\frac{16}{4}=4.$$

Следовательно, наименьший периметр будет у квадрата со сторонами $$4$$ см и $$4$$ см.

Ответ

$$4\text{ см} \times 4\text{ см}$$