Упр.32.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Периметр прямоугольника составляет 56 см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь?

Пусть $$a$$ и $$b$$ — стороны прямоугольника. Тогда

$$2a+2b=56,$$

откуда

$$a+b=28,$$

$$b=28-a.$$

Площадь прямоугольника:

$$S(a)=ab=a(28-a)=28a-a^2.$$

Найдём максимум этой функции:

$$S'(a)=28-2a.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$28-2a=0,$$

$$2a=28,$$

$$a=14.$$

Тогда

$$b=28-14=14.$$

Следовательно, наибольшую площадь имеет квадрат со сторонами $$14$$ см и $$14$$ см.

Ответ

$$14\text{ см},\ 14\text{ см}.$$