Упр.32.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Представьте число $$5$$ в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и куба второго слагаемого было наибольшим.

Пусть первое слагаемое равно $$x$$, тогда второе слагаемое равно $$5-x$$, где $$0<x<5$$.

Тогда произведение первого слагаемого и куба второго слагаемого равно

$$f(x)=x(5-x)^3.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=(5-x)^3-3x(5-x)^2=(5-x)^2(5-4x).$$

Критическая точка внутри промежутка $$0<x<5$$ определяется из уравнения

$$5-4x=0,$$

откуда

$$x=\frac54.$$

Тогда второе слагаемое:

$$5-\frac54=\frac{15}{4}.$$

При $$x<\frac54$$ производная положительна, а при $$x>\frac54$$ отрицательна, значит, в точке $$x=\frac54$$ функция достигает максимума.

Ответ: $$5=\frac54+\frac{15}{4}.$$