Упр.32.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Представьте число 3 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма утроенного первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей.

Пусть $$x$$ и $$y$$ — положительные слагаемые, тогда

$$x+y=3,\qquad y=3-x.$$

Рассмотрим функцию суммы утроенного первого слагаемого и куба второго:

$$f(x)=3x+y^3=3x+(3-x)^3.$$

Упростим:

$$f(x)=3x+27-27x+9x^2-x^3=27-24x+9x^2-x^3.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-24+18x-3x^2=-3(x^2-6x+8)=-3(x-2)(x-4).$$

Так как $$0<x<3$$, то из критических точек подходит только $$x=2$$. Проверим знак производной: при $$0<x<2$$ имеем $$f'(x)<0$$, а при $$2<x<3$$ имеем $$f'(x)>0$$. Значит, при $$x=2$$ функция достигает минимума.

Тогда

$$y=3-2=1.$$

Следовательно, число $$3$$ нужно представить в виде суммы $$2$$ и $$1$$.

Ответ: $$3=2+1$$.