Упр.32.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Произведение двух положительных чисел равно $$484$$. Найдите эти числа, если известно, что их сумма принимает наибольшее значение.

Пусть $$x$$ и $$y$$ — искомые положительные числа. Тогда

$$xy=484,$$

значит, $$y=\dfrac{484}{x}.$$

Рассмотрим сумму

$$S(x)=x+y=x+\dfrac{484}{x}, \qquad x>0.$$

Найдём её наименьшее значение, так как при фиксированном произведении сумма двух положительных чисел максимума не имеет, а минимальное значение достигается при равенстве чисел.

По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим:

$$\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}=\sqrt{484}=22,$$

откуда

$$x+y\ge 44.$$

Равенство достигается при $$x=y$$. Тогда

$$x^2=484,$$

$$x=22 \quad (\text{так как } x>0),$$

и

$$y=22.$$

Ответ: $$22$$ и $$22$$.