Упр.32.2 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Рассмотрим функцию $$y=2\sin x$$ на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\pi\right].$$

Функция непрерывна на отрезке, значит, находим значения в концах отрезка и в стационарных точках.

$$y’=(2\sin x)’=2\cos x.$$

Стационарные точки:

$$2\cos x=0,\quad \cos x=0,\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\pi\right]$$ подходит точка $$x=\frac{\pi}{2}.$$

Вычислим значения функции:

$$y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=2\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-2,$$

$$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=2,$$

$$y(\pi)=2\sin\pi=0.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}=2.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=-2\cos x$$ на отрезке $$\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right].$$

$$y’=(-2\cos x)’=2\sin x.$$

Стационарные точки:

$$2\sin x=0,\quad \sin x=0,\quad x=\pi n.$$

На отрезке $$\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right]$$ подходят точки $$x=-2\pi,\,-\pi.$$

Вычислим значения функции:

$$y(-2\pi)=-2\cos(-2\pi)=-2,$$

$$y(-\pi)=-2\cos(-\pi)=2,$$

$$y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-2\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}=2.$$

в) Рассмотрим функцию $$y=6\cos x$$ на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};0\right].$$

$$y’=(6\cos x)’=-6\sin x.$$

На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$ функция $$\sin x\le 0,$$ значит, $$y’\ge 0,$$ и функция возрастает.

Тогда

$$y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=6\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0,$$

$$y(0)=6\cos 0=6.$$

Следовательно, $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=6.$$

г) Рассмотрим функцию $$y=-0{,}5\sin x$$ на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$

$$y’=(-0{,}5\sin x)’=-0{,}5\cos x.$$

На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ имеем $$\cos x\ge 0,$$ значит, $$y’\le 0,$$ и функция убывает.

Тогда

$$y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-0{,}5\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0{,}5,$$

$$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=-0{,}5\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=-0{,}5.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-0{,}5,$$ $$y_{\max}=0{,}5.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=-2,\ y_{\max}=2$$; б) $$y_{\min}=-2,\ y_{\max}=2$$; в) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=6$$; г) $$y_{\min}=-0{,}5,\ y_{\max}=0{,}5$$.