Упр.32.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

$$y=x^3-3x^2-9x+\sqrt{16-x^4}+\left|\sqrt{16-x^4}-5\right|$$

Так как $$x^4 \ge 0,$$ то $$16-x^4 \le 16,$$ значит

$$\sqrt{16-x^4}\le 4.$$

Следовательно,

$$\sqrt{16-x^4}-5\le -1<0,$$

то есть под модулем всегда отрицательное выражение. Тогда

$$\left|\sqrt{16-x^4}-5\right|=5-\sqrt{16-x^4}.$$

Подставим это в функцию:

$$y=x^3-3x^2-9x+\sqrt{16-x^4}+5-\sqrt{16-x^4}=x^3-3x^2-9x+5.$$

Найдём область определения:

$$16-x^4\ge 0,$$

$$x^4\le 16,$$

$$-2\le x\le 2.$$

Теперь рассмотрим функцию $$y=x^3-3x^2-9x+5$$ на отрезке $$[-2;2].$$

Найдём производную:

$$y'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x+1)(x-3).$$

На отрезке $$[-2;2]$$ критическая точка только одна: $$x=-1.$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:

$$y(-2)=(-2)^3-3\cdot(-2)^2-9\cdot(-2)+5=3,$$

$$y(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)^2-9\cdot(-1)+5=10,$$

$$y(2)=2^3-3\cdot2^2-9\cdot2+5=-17.$$

Наибольшее значение функции равно $$10,$$ наименьшее — $$-17.$$

Ответ: $$E(y)=[-17;10].$$