Упр.32.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Найдите область значений функции:
а) $$y=2x-\sqrt{16x-4},\quad x\in\left[\frac{1}{4};\frac{17}{4}\right]$$;
б) $$y=2\sqrt{x-1}-0{,}5x,\quad x\in[1;10]$$.

Подробный ответ

а) Рассмотрим функцию $$y=2x-\sqrt{16x-4}, \quad x\in\left[\frac14;\frac{17}{4}\right].$$

Найдём производную:

$$y’ = 2-\frac{16}{2\sqrt{16x-4}}=\frac{2\sqrt{16x-4}-8}{\sqrt{16x-4}}.$$

Критическая точка определяется из уравнения $$y’=0$$:

$$2\sqrt{16x-4}-8=0,$$
$$2\sqrt{16x-4}=8,$$
$$\sqrt{16x-4}=4,$$
$$16x-4=16,$$
$$16x=20,$$
$$x=\frac54.$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:

$$y\left(\frac14\right)=2\cdot\frac14-\sqrt{16\cdot\frac14-4}=\frac12,$$
$$y\left(\frac54\right)=2\cdot\frac54-\sqrt{16\cdot\frac54-4}=\frac52-4=-\frac32,$$
$$y\left(\frac{17}{4}\right)=2\cdot\frac{17}{4}-\sqrt{16\cdot\frac{17}{4}-4}=\frac{17}{2}-8=\frac12.$$

Следовательно, наименьшее значение функции равно $$-\frac32,$$ а наибольшее — $$\frac12.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=2\sqrt{x-1}-0{,}5x, \quad x\in[1;10].$$

Найдём производную:

$$y’ = 2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-0{,}5=\frac{1}{\sqrt{x-1}}-\frac12=\frac{2-\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}}.$$

Критическая точка определяется из уравнения $$y’=0$$:

$$2-\sqrt{x-1}=0,$$
$$\sqrt{x-1}=2,$$
$$x-1=4,$$
$$x=5.$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:

$$y(1)=2\sqrt{1-1}-0{,}5\cdot1=-\frac12,$$
$$y(5)=2\sqrt{5-1}-0{,}5\cdot5=4-\frac52=\frac32,$$
$$y(10)=2\sqrt{10-1}-0{,}5\cdot10=6-5=1.$$

Значит, наименьшее значение функции равно $$-\frac12,$$ а наибольшее — $$\frac32.$$