Упр.32.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) $$y=x^2-4x+5+|1-x|$$, $$[0;4]$$; б) $$y=|x^3-1|-3x$$, $$[-1;3]$$.

Подробный ответ

а) Рассмотрим функцию $$y=x^2-4x+5+|1-x|$$ на отрезке $$[0;4].$$

Разобьём отрезок по точке $$x=1$$:

$$y= \begin{cases} x^2-4x+5+(1-x)=x^2-5x+6, & 0\le x\le 1,\\ x^2-4x+5+(x-1)=x^2-3x+4, & 1\le x\le 4. \end{cases}$$

1) На $$[0;1]$$:

$$y’=2x-5.$$
На этом промежутке $$2x-5<0,$$ значит функция убывает. Тогда
$$y(0)=0^2-5\cdot 0+6=6,\qquad y(1)=1^2-5\cdot 1+6=2.$$

2) На $$[1;4]$$:

$$y’=2x-3.$$
Критическая точка:
$$2x-3=0,\qquad x=\frac32.$$
Считаем значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$y(1)=1^2-3\cdot 1+4=2,$$
$$y\!\left(\frac32\right)=\left(\frac32\right)^2-3\cdot \frac32+4=\frac94-\frac92+4=\frac74,$$
$$y(4)=4^2-3\cdot 4+4=16-12+4=8.$$

Следовательно, на отрезке $$[0;4]$$:

$$y_{\min}=\frac74,\qquad y_{\max}=8.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=|x^3-1|-3x$$ на отрезке $$[-1;3].$$

Разобьём отрезок по точке $$x=1$$:

$$y= \begin{cases} -(x^3-1)-3x=-x^3+1-3x, & -1\le x<1,\\ x^3-1-3x=x^3-3x-1, & 1\le x\le 3. \end{cases}$$

1) На $$[-1;1]$$:

$$y’=-3x^2-3<0,$$
значит функция убывает. Тогда
$$y(-1)=-(-1)^3+1-3(-1)=1+1+3=5,$$
$$y(1)=-1^3+1-3\cdot 1=-1+1-3=-3.$$

2) На $$[1;3]$$:

$$y’=3x^2-3=3(x^2-1).$$
На этом промежутке $$y’>0$$ при $$x>1,$$ значит функция возрастает. Тогда
$$y(1)=1^3-1-3\cdot 1=-3,$$
$$y(3)=3^3-1-3\cdot 3=27-1-9=17.$$

Следовательно, на отрезке $$[-1;3]$$:

$$y_{\min}=-3,\qquad y_{\max}=17.$$