Упр.32.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений исследуем функцию на заданном промежутке.
а)
$$y=x+\frac{1}{x}, \quad (-\infty;0)$$
Найдём производную:
$$y’ = 1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}=\frac{(x-1)(x+1)}{x^2}.$$
Критическая точка на данном промежутке: $$x=-1.$$
Вычислим значение функции в этой точке:
$$y(-1)=-1+\frac{1}{-1}=-1-1=-2.$$
При $$x\to -\infty$$ имеем $$y\to -\infty.$$
Следовательно, наибольшее значение достигается в точке $$x=-1$$, а наименьшего значения нет.
Ответ: $$y_{\max}=-2,\quad y_{\min}\ \text{не существует}.$$
б)
$$y=\frac{3x}{x^2+3}, \quad [0;+\infty)$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{3(x^2+3)-3x\cdot 2x}{(x^2+3)^2}=\frac{9-3x^2}{(x^2+3)^2}=\frac{3(3-x^2)}{(x^2+3)^2}.$$
Критическая точка на данном промежутке: $$x=\sqrt{3}.$$
Вычислим значения функции:
$$y(0)=0,$$
$$y(\sqrt{3})=\frac{3\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2+3}=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Кроме того, при $$x\to +\infty$$ имеем $$y\to 0.$$
Значит, наименьшее значение равно $$0$$, а наибольшее — $$\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Ответ: $$y_{\min}=0,\quad y_{\max}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
в)
$$y=-2x-\frac{1}{2x}, \quad (0;+\infty)$$
Найдём производную:
$$y’=-2+\frac{1}{2x^2}=\frac{1-4x^2}{2x^2}=\frac{(1-2x)(1+2x)}{2x^2}.$$
Критическая точка на данном промежутке: $$x=\frac{1}{2}.$$
Вычислим значение функции:
$$y\left(\frac{1}{2}\right)=-2\cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{2\cdot \frac{1}{2}}=-1-1=-2.$$
При $$x\to +\infty$$ имеем $$y\to -\infty.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$-2$$, а наименьшего значения нет.
Ответ: $$y_{\max}=-2,\quad y_{\min}\ \text{не существует}.$$
г)
$$y=\sqrt{2x+6}-x, \quad [-3;+\infty)$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{1}{\sqrt{2x+6}}-1=\frac{1-\sqrt{2x+6}}{\sqrt{2x+6}}.$$
Критическая точка:
$$1-\sqrt{2x+6}=0 \Rightarrow \sqrt{2x+6}=1 \Rightarrow 2x+6=1 \Rightarrow x=-\frac{5}{2}.$$
Вычислим значения функции:
$$y(-3)=\sqrt{2\cdot(-3)+6}-(-3)=0+3=3,$$
$$y\left(-\frac{5}{2}\right)=\sqrt{2\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)+6}+\frac{5}{2}=1+\frac{5}{2}=\frac{7}{2}.$$
При $$x\to +\infty$$ имеем $$y\to -\infty.$$
Значит, наибольшее значение равно $$\frac{7}{2}$$, а наименьшего значения нет.
Ответ: $$y_{\max}=\frac{7}{2},\quad y_{\min}\ \text{не существует}.$$
